Thursday, January 18, 2007

Bend it like Grisha

*Σύνδεση με τα προηγούμενα : είδαμε το πώς ορίζεται μια πολλαπλότητα. Έχοντας λοιπόν στο inventory μας την βασική έννοια, μπορούμε να δούμε καλύτερα τι υπέθεσε ο Poincare.


Μια n-πολλαπλότητα μοιάζει ή είναι τοπικά ομοιόμορφη με το Rn. Δλδ οποιοδήποτε σημείο x και αν πάρουμε πάνω στην πολλαπλότητα Μ, μπορούμε να βρούμε μια περιοχή U του x, τοπολογικά ισοδύναμη με το Rn.
Τοπολογικά ισοδύναμη, σημαίνει κρατάει όλες τις τοπολογικές ιδιότητες του Rn, που είναι ακριβώς η δουλειά που κάνει ο ομοιομορφισμός.

Κάποιες συνηθισμένες τοπολογικές ιδιότητες έχουν να κάνουν με :
Πληθάριθμο (του χώρου Χ ή της τοπολογίας του Τ ή της βάσης)
Συνάφεια
Διαχώριση (πχ Τ2)
Συμπάγεια
Αριθμησιμότητα


Παραδείγματα :
1-πολλαπλότητα είναι ο κύκλος.

2-πολλαπλότητα : η επιφάνεια, πχ ο κυκλικός δίσκος ή η επιφάνεια της σφαίρας

3-πολλαπλότητα : η S3 σφαίρα
(πχ η μοναδιαία σφαιρα με εξίσωση x2+y2+z22=1)


H S3 σφαίρα είναι η πιο απλή μορφή 3-πολλαπλότητας.

Αυτό λοιπόν που είπε ο Poincare ήταν ότι κάθε συμπαγής κλειστή 3-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη με την σφαίρα S3.
Με άλλα λόγια, κάθε 3-πολλαπλότητα που δεν έχει τρύπες , δλδ έχει γένος g=0, έχει όλες τις τοπολογικές ιδιότητες της σφαίρας S3.

*Αυτή ήταν η διατύπωση το 1904, και στην συνέχεια γενικεύτηκε για τυχαίο n.
Αυτό που έκανε τελικά τόσο θρυλική αυτήν την εικασία, ήταν ότι αποδείχτηκε σχετικά εύκολα για n>4 (1961-1962), Κάποια στιγμή αποδείχτηκε και για n=4 (το 1982) αλλά η περίπτωση n=3 παρέμενε άλυτο πρόβλημα.



Πώς φτάσαμε τώρα στην απόδειξη για n=3 και βέβαια τι προηγήθηκε.


Η περιγραφή που επικράτησε για να γίνει πιο παραστατικο το τι ακριβώς λέει η εικασία Poincare, είναι ότι αν πάρω μια συμπαγή 3-πολλαπλότητα και την τεντώσω, διπλώσω, μεταμορφώσω, τελικά μπορώ να καταλήξω στην 3-σφαίρα - σα να έχω ένα κομμάτι πλαστελίνη, το οποιο τελικά θα αλλάξει μορφή χωρίς να δημιουργηθούν τρύπες, τομές κλπ.
Δηλαδή, κρατάμε τις βασικές ιδιότητες - ο συμπαγής τόπος παραμένει συμπαγής.

Και αυτό γίνεται, όπως ήδη είπαμε, με την βοήθεια ομοιομορφισμών (το "δούλεμα" της πλαστελίνης στα Μαθηματικά).
Με την βοήθεια του ομοιομορφισμού, εμβαπτίζουμε (embed) την πολλαπλότητα σε κάποιο άλλο σύνολο.
*Αν Χ και Y δυο τοπολογικοί χώροι, η f:X->Y λέγεται εμβάπτιση αν η f:X->f(X) είναι ομοιομορφισμός.

Πρακτικά δηλαδή, όταν λέμε "εμβαπτίζω" την επιφάνεια, εννοούμε ακριβώς ότι μελετάμε τον ισοδύναμο (μέσω του ομοιομορφισμού) χώρο.
Αντί για το Χ μελετάμε το f(X) το οποίο μέσω του ομοιομορφισμού διατηρεί τις τοπολογικές ιδιότητες του Χ αλλά και επιπλέιον είναι υποσύνολο του Y.



Και μένει, τι άλλο? Η συμβολή του Perelman. (προσεχώς!)




3 comments:

oTheos said...

Poli endiaferon...
Gia na doume telika ti ekane autos o Grisha...:-)

Citronella said...

Λίαν συντόμως, otheos:)
(αρκεί να καταφέρω να το κρατήσω περιληπτικό! πχ αναφέρεις τη λέξη "Τοπολογικές ιδιότητες" και ανοίγει καινούριο κεφάλαιο..)

oTheos said...

Se katalavaino...
Auta pou anafereis einai tria mathimata sto mathimatiko. Ena kormou kai dio kateuthinsis...
Fantasou...
Pantos kala to pigaineis! :-)
( Emena den me peirazei pantos na min einai kai toso periliptiko! :-P )

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.