Sunday, January 28, 2007

Το όνειρο του χαρτογράφου

Κυριακή σήμερα, και ευκαιρία να αφήσουμε λίγο την επικαιρότητα και να περιηγηθούμε λίγο ακόμα στις περιοχές της Τοπολογίας.

*Μια μικρή παρένθεση : ως γνωστόν, κανένα απο τα μεγάλα προβλήματα δεν λύθηκε δι επιφοιτήσεως, αντίθετα πάντα η λύση πατούσε στην δουλειά αρκετών (συνήθως) από τους προηγούμενους, και τα αποτελέσματα στα οποία είχαν φτάσει στην διάρκεια χρόνων.
Έτσι και ο Perelman βασίστηκε σε μια άλλη εικασία (του Thurnston) την οποία απέδειξε και από την οποία προκύπτει και η εικασία του Poincare.

Για να συνεχίσουμε από τα προηγούμενα (Ι και ΙΙ), σκοπός μας ειναι πάντα να δείξουμε οτι μια κλειστή συμπαγής 3-πολλαπλότητα είναι ισοδύναμη με την 3-σφαίρα.
Ακόμα πιο σχηματικά : μια επιφάνεια Α είναι τοπολογικά ισοδύναμη με μια άλλη Β.

Ψάχνουμε δηλαδή για ομοιομορφισμούς ώστε να "εμβαπτίσουμε" την μια επιφάνεια σε μια άλλη πιο γνωστή.

Στο σημείο αυτό αξίζει να θυμηθούμε ότι μια από τις βασικές εννοιες της Τοπολογίας είναι αυτή της περιοχής - στον ορισμό της πολλαπλότητας κάναμε λόγο για τοπικά ομοιόμορφους χώρους.

Έχω λοιπόν έναν κύκλο (που είναι και πολλαπλότητα). Μπορώ αντί να τον μελετήσω συνολικά, να μελετήσω τοπικά και μετά να δω και την συνολική εικόνα?

Ας πάρουμε τον μοναδιαίο κύκλο με κέντρο Ο(0,0) c:x2+y2=1 και την f:c1->(-1,1) όπου c1 το άνω θετικό ημικύκλιο με f(x,y)=x για y>0.




H f είναι συνεχής και προβάλλει το θετικό ημικύκλιο στο διάστημα (-1,1).
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να προβάλλουμε το (κάτω) αρνητικό ημικύκλιo με y<0 το αριστερό ημικύκλιο με x<0 και τέλος το δεξιό με x>0.

Έτσι αντί να μελετάμε κάθε φορά το αντίστοιχο τόξο κύκλου, μελετάμε ένα ευθύγραμμο τμήμα.
Μελετώντας μόνο το ένα από τα τέσσερα τμήματα (και τις αντίστοιχες συναρτήσεις) έχουμε μια τμηματική ιδέα. Αν πάρουμε όμως και τα 4, έχουμε μια κάλυψη του κύκλου.

Και για να το δούμε εντελώς σχηματικά, είναι ανάλογο με ακριβώς αυτό που κάνουμε στην Γεωγραφία από το Δημοτικό ακόμα.
Η Γη είναι (περίπου) σφαίρα. Αν πάρουμε ένα τμήμα της επιφάνειάς της και το προβάλλουμε στο επίπεδο, το μελετάμε εκεί τοπικά, με την βοήθεια ενός χάρτη.
Αν έχουμε λοιπόν έναν χάρτη της Ευρώπης, μπορούμε να μελετήσουμε τα στοιχεία που είναι σχετικά με την Ευρώπη. Αν πάρουμε μια συλλογή από χάρτες, τότε έχουμε μια συνολική κάλυψη της Υδρογείου.

Μια βασική ερώτηση εδώ είναι πόσους χάρτες θα πάρουμε. Η προφανής λύση θα ήταν η πιο "οικονομική", δηλαδή να έχουμε τους ελάχιστους δυνατούς χάρτες ώστε να εφαρμόζουν σαν τα κομμάτια ενός παζλ. Πιθανόν όμως κάποια τμήματα να είναι κοινά σε δυο ή και τρεις χάρτες (πχ η Ευρωπαϊκή Τουρκια μπορεί να συμπεριλαμβάνεται και στον χάρτη της Ευρώπης αλλά και στον χάρτη της Ασίας). Ένα το κρατούμενο εδώ.

Για να επανέλθουμε στα Μαθηματικά, οι χάρτες μας δεν είναι παρά οι συναρτήσεις (που φυσικά πληρούν κάποιες προϋποθέσεις).

Ανακεφαλαίωση : ψάχνουμε πλέον πώς θα φτάσουμε σε μια συλλογή από χάρτες, έτσι ώστε μια πολλαπλότητα να "σπάσει" σε άλλες πιο απλές και γνωστές.
Να βρούμε δηλαδή για την πολλαπλότητά μας Μ μια κάλυψη έτσι ώστε


με
συλλογή από χάρτες



(to be continued, όπως λεν και στις ταινίες).


3 comments:

Citronella said...

Να συμπληρώσω ότι όχι, δεν μού κάνω γκρίζα διαφήμιση;Ρ αλλά για τους χάρτες και τον τίτλο του ποστ έχω γράψει στο άλλο μπλογκ.

Επίσης να συμπληρώσω ότι κάθε φορά νομίζω πως έγραψα περιληπτικά και τα απαραίτητα και τελικά βλέπω πως έμειναν τουλάχιστον άλλα τόσα!!

oTheos said...

Asta na pane...
Ksekinas kati kai vgainoun alla tosa stin poreia...

Citronella said...

Αλλωστε γι'αυτό από μικρά μάς μάθαιναν ότι "τα Μαθηματικά είναι αλυσίδα". Κι αν χαθεί ένας κρίκος, άντε να βρεις τους υπόλοιπους..

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.