Tuesday, January 16, 2007

topo-logical back to basics

Μετά το σουξέ που γνώρισε φέτος, κι επειδή η Τοπολογία δεν ασχολείται μόνο με ντόνατς και κούπες του καφέ, ας θυμηθούμε μερικές βασικές έννοιες :


Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι ένα σύνολο Χ μαζί μέ ένα σύνολο Τ τού οποίου τα στοιχεία είναι υποσύνολα του Χ, έτσι ώστε:

* το κενό ανήκει στο Τ
* το Χ ανήκει στο Τ
* Η ένωση αριθμήσιμου πλήθους στοιχείων του Τ είναι στοιχείο του Τ
* Η τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του Τ είναι στοιχείο του Τ



Τα στοιχεία του Τ ονομάζονται ανοιχτά σύνολα του Χ, και το σύνολο Τ ονομάζεται Τοπολογία στο Χ.
Ένα υποσύνολο C του Τ ονομάζεται κλειστό, αν το συμπλήρωμά του X\C είναι ανοιχτό.

(κλασσικό παράδειγμα : το δυναμοσύνολο ενός συνόλου, δλδ το σύνολο των υποσυνόλων του)


Έστω πάντα ο τοπολογικός χώρος Χ με τοπολογία Τ.
Βάση Β για τον Χ ονομάζεται μια συλλογή ανοιχτών συνόλων του Τ έτσι ώστε κάθε ανοιχτό σύνολο του Τ να μπορεί να γραφεί σαν ένωση στοιχείων του Β. Λέμε τότε ότι η βάση Β παράγει την τοπολογία Τ.

(*o ορισμός δεν είναι πλήρης προφανώς, αλλά για λόγους οικονομίας αρκούμαστε σε αυτά)
Αν τώρα η βάση Β είναι αριθμήσιμη, τότε ο Χ ονομάζεται 2-αριθμήσιμος.

Αν ο Χ ικανοποιεί το Τ2 αξίωμα, τότε λέγεται Τ2 χώρος ή χώρος Hausdorff - όπου το αξίωμα Τ2 λέει ότι για οποιαδήποτε δυο σημεία x,y του χώρου Χ μπορούμε να βρούμε ξένες μεταξύ τους περιοχές, δλδ υπάρχουν ανοιχτές περιοχές U και V του x και y αντίσοτιχα, με U τομή V = κενό .





Ένας ομοιομορφισμός ανάμεσα σε δύο τοπολογικούς χώρους Χ και Ψ είναι μια συνάρτηση
f : S -> T έτσι ώστε

* Η f είναι συνεχής
* Η f-1 είναι συνεχής
* Η f είναι 1-1 και επί


Και ετοιμαζόμαστε για το κυρίως πιάτο :

n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα Μ είναι ένας 2-αριθμήσιμος, Τ2 (Hausdorff) τοπολογικός χώρος που είναι τοπικά ομοιόμορφος με ανοιχτά υποσύνολα του Rn.

Δηλαδή έστω Μ η πολλαπλότητα. Τότε για κάθε x στο Μ υπάρχει μια περιοχή U (υποσύνολο του Μ) και ενα ανοιχτό υποσύνολο V του Rn έτσι ώστε τα U και V (με τις αντίστοιχες τοπολογίες) να είναι ομοιομορφα (δλδ υπάρχει ένας ομοιομορφισμός).

Με πιο απλά λόγια : κάθε περιοχή της n- πολλαπλότητας "μοιάζει" με το Rn.




Μετά από αυτήν την εισαγωγή, είναι όντως ώρα για ντόνατς&καφέ και όταν με ξαναπιάσουν οι προκοπές θα υπάρξει και επόμενο ποστ με περισσότερα για τις πολλαπλότητες.

Γιατί.. όπως είπε και ο Paul Halmos :
"The only way to learn mathematics is to do mathematics".




*το ποστ αφιερώνω ειδικά στους guitarlikas και infrared!


5 comments:

Infrared said...

po po po, topologia (me epiase ena sygrio)!!!
kai sy kateytheian sta varia epeses.
perimeno sequel me agonia!!!

ps: guitarlika pes olous tous symfoitites na doun post.
perissotera tha katalavoun edo para apo konstantillaki!!

guitarlikas said...

Ευχαριστούμε για την αφιέρωση!!! Citronella, όχιιι τοπολογία! Λυπήσου μας..! Εγώ είμαι των εφαρμοσμένων = γκάου :P
Πάντως πλάκα πλάκα infrared έχεις δίκαιο!!
Τίποτα σε μιγαδικές συναρτήσεις μήπως?? :)

Citronella said...

Thanks!! και χαίρομαι που συμμερίζεστε τον ενθουσιασμό μου για την τοπολογία:D

infrared : θα υπάρξει σίγουρα, τουλάχιστον ένα ακόμα ποστ!!

guitarlika, θα στο πω με τρόπο : δες την απάντηση στον infrared!
καλή ιδέα πάντως οι μιγαδικές συναρτήσεις.. άλλωστε όπως λένε
"Life is complex, it has a real and a imaginary part"!

oTheos said...

Ego eimai enas gnostos fun tis topologias e Guitarlika? Opote sinexise etsi citronella!!!
Arage mipos mporeis ean ksereis na mas peis ti peripou ekane o rosos pou pire to Fields? Leo mipos...

Citronella said...

otheos, welcome, χαίρομαι που έχουμε και άλλον fun!
ναι, ακριβώς κατά εκεί σκοπεύω να φτάσω, το πότε μόνο άγνωστο. όλη αυτή η εισαγωγή είναι για να δούμε λίγο καλύτερα τι ακριβώς λέει η εικασια Poincare. και βέβαια στην συνέχεια με ποιον τρόπο το αντιμετώπισε ο Perelman.

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.