Thursday, February 08, 2007

Go with the Flow

Ειδαμε ότι ο Pereleman αρχικά -και ουσιαστικά- απέδειξε την εικασία της γεωμετροποίησης του Thurston.
Τι λέει αυτή? Κάτι ανάλογο της ανάλυσης θετικών ακεραίων σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Συνοπτικά, ότι κάθε 3-πολλαπλότητα διαιρείται σε τόρους / τμήματα καθένα από τα οποία έχει μια από οκτώ κανονικές γεωμετρίες. Δηλαδή πχ γεωμετρίες με σταθερή θετική ή σταθερή αρνητική καμπυλότητα, ή γινόμενο επιφάνειας με Κ<0.

Στη συνέχεια, και αφού απέδειξε αυτήν την εικασία ο Pereleman, εφήρμοσε ροές Ricci (Ricci flow) με τη βοήθεια της χειρουργικής μεθόδου.

Ροές Ricci είναι διαφορικές εξισώσεις (ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν του Μαθηματικού Gregorio Ricci), οι οποίες μετασχηματίζουν μια πολλαπλότητα (Riemann), με τρόπο ανάλογο όπως η εξίσωση ροής θερμότητας.
Δηλαδή, οδηγούν στο να διατηρείται η καμπυλότητα σταθερή, "λειαίνοντας" έτσι την πολλαπλότητα.


Τώρα, υπάρχει ένα πρόβλημα : η εφαρμογή τους μπορεί να οδηγήσει σε ανωμαλίες, δηλαδή να μετατραπεί η πολλαπλότητα σε σημείο.
Εκεί λοιπόν έρχεται η συνδρομή της χειρουργικής μεθόδου - κάνει αυτό που λέει το όνομά της:
Στις περιοχές όπου η πολλαπλότητα στενεύει επικίνδυνα, αφαιρούμε την περιοχή και αντικαθιστούμε με (πάντα ίδιας διάστασης n χερούλια). Έτσι η ροή Ricci συνεχίζει χωρίς εμπόδια και τελικά καταλήγουμε εκεί που θέλουμε, δλδ στο όπερ έδει δείξαι.

*Μια παρατήρηση για της ροές Ricci : βάζω το λινκ του Wolfram MathWorld που περιέχει την εξίσωση, η οποία βέβαια για αυτό που μιλάει στην ακρίβεια είναι ο τανυστής καμπυλότητας Riemann. Προτίμησα να μην αφιερώσω ένα ξεχωριστό ποστ για τον τανυστικό λογισμό.

Η γενική εικόνα πάντως του τι έκανε ο Pereleman ήταν αυτή. Δεν ξέρω και κατά πόσο βγαίνει νόημα αν διαβάσει κανείς τα 4 σχετικά ποστς που έγραψα!
Για μένα σίγουρα βγαίνει:) και επιπλέον μού έδωσε αρκετό υλικό για μελλοντικά ποστς.

Όπως πχ διαφορίσιμες πολλαπλότητες και άτλαντες, που είναι κι ένα παράδειγμα των εφαρμογών που έχουν τα Καθαρά Μαθηματικά.



*Links

εικασία της γεωμετροποίησης του Thurston (1)

εικασία της γεωμετροποίησης του Thurston (2)



ροές Ricci


χειρουργική μέθοδος (PDF)


η εργασία του Pereleman



τέλος, δυο τεύχη διαθέσιμα online του περιοδικού Manifolds - είναι πιο γενικού ενδιαφέροντος και έχει μέχρι και ωροσκόπιο, αξίζει να το δείτε.




και για να κλείσει το πέρασμα από την Τοπολογία με ένα ανέκδοτο :

-How many topologists does it take to change a lightbulb?
A: Just one, but what will you do with the doughnut?


No comments:

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.