Sunday, May 27, 2007

Plain Algebra: The Lord of the Rings

(για τον guitarlika που το ζήτησε!)

Μια Ομάδα (G, +) είναι ένα σύνολο G μαζί με μια δυαδική πράξη + στο G η οποία ικανοποιεί τις εξής συνθήκες:


- Το G είναι κλειστό ως προς την +, δηλαδή για κάθε a,b στο G το a+b ανήκει επίσης στο G
- Είναι προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε a,b,c στο G, (a+b)+c = a+(b+c)
- Έχει ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή υπάρχει e στο G ε.ω. για κάθε a στο G e+a=a+e=a
- Έχει αντίστροφο στοιχείο, δηλαδή για κάθε a στο G υπάρχει b στο G ε.ω. a+b=b+a=e

Αν επιπλέον η πράξη είναι αντιμεταθετική, δλδ για κάθε a,b στο G, a+b=b+a τότε η ομάδα λέγεται Αβελιανή.

Το ουδέτερο στοιχείο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι μοναδικό.
Στην περίπτωση που η πράξη είναι πρόσθεση το ουδέτερο στοιχείο συμβολίζουμε με 0, ενώ αν είναι πολ/σμός το συμβολίζουμε με 1.


Δακτύλιος
λοιπόν είναι μια αβελιανή ομάδα (R,+) όπου έχουμε και μια δεύτερη δυαδική πράξη *, ετσι ώστε για κάθε a,b,c στο R να ισχύει:


- a * (b * c) = (a * b) * c

- a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
- (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

Αν επιπλέον η πράξη * είναι αντιμεταθετική (δηλαδή a*b=b*a για κάθε a,b στο R) τότε λέμε ότι έχουμε αντιμεταθετικό δακτύλιο.
Aν υπάρχει ουδέτερο(μοναδιαίο) στοιχείο για την πράξη *, λέμε ότι έχουμε δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο.


Παραδείγματα : ο δακτύλιος των πραγματικών, ο δακτύλιος των ακεραίων, ο δακτύλιος των 2x2 πραγματικών πινάκων.


Την έννοια του δακτυλίου εισήγαγε ο Richard Dedekind ενώ τον όρο (Zahlring - δακτύλιος αριθμών) χρησιμοποίησε ο David Hilbert στο άρθρο του Die Theorie der algebraischen Zahlkorper (Η Θεωρία των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών) το 1897.


Η ιστορία της θεωρίας δακτυλίων είναι μεγάλη - αρκεί να αναφέρουμε ότι μέχρι κάποια εποχή οι αντιμεταθετικοί και οι μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι αποτελούσαν χωριστό πεδίο μελέτης.

Ο τομέας της Άλγεβρας, όπως ξέρουμε από το Σχολείο, αναπτύχθηκε αρχικά (από τους Άραβες, εξ ου και το όνομα) στην προσπάθεια να επιλυθούν εξισώσεις - αν και στην ανάπτυξη σχετικών αλγορίθμων μεγάλο έργο έχουν να επιδείξουν οι Έλληνες και Βαβυλώνιοι.

Ακόμα και σχετικά "στοιχειώδεις" εξισώσεις όπως η πολυωνυμική 5ου βαθμού, οδήγησαν τον Galois στην θεμελίωση της Θεωρίας Ομάδων (ήταν και ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο "Ομάδα").


Η θεωρία δακτυλίων αναπτύχθηκε σε μεγάλο βαθμό κατά την προσπάθεια να αποδειχθεί το τελευταίο θεώρημα του Fermat,
πχ για την περίπτωση n=3 o Euler χρησιμοποίησε τον δακτύλιο των αριθμών όπου a,b ακέραιοι.
Μάλιστα εδώ είναι ένα κλασσικό παράδειγμα δακτυλίου όπου η ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δεν είναι μοναδική

Το 4 πχ γράφεται ως 4=2*2 αλλά και 4=


Γι' αυτό και είναι τόσο φανερή η συγγένεια με την Θεωρία Αριθμών, ακόμα και στην συχνότητα με την οποία σε ασκήσεις εμφανίζονται δακτύλιοι Z modn - και έτσι, αναφέραμε ήδη ένα μεγάλο πεδίο που βρίσκουν εφαρμογή οι δακτύλιοι:

Θεωρία Αριθμών και, πιο συγκεκριμένα αλλά όχι μόνο, στην παραγοντοποίηση, κωδικοποίηση και κρυπτογράφηση.

Στο μινι αφιέρωμα στην Τοπολογία είχα αναφερθεί σε Πολλαπλότητες, που είναι άλλο ένα σημείο όπου οι δακτύλιοι και οι ομοιομορφισμοί δακτυλίων βρίσκουν εφαρμογή.

Στην Αλγεβρική Τοπολογία όμως μεγάλη εφαρμογή έχει και η Θεωρία Ομάδων, βοηθώντας μας να περιγράψουμε τις αναλλοίωτες.

Η Θεωρία Ομάδων επίσης έχει εφαρμογές στην Συνδυαστική, αλλά και στην Χημεία (πχ ταξινόμηση κρυσταλλικών δομών), στην Φυσική (Lorentz Group) και όλα αυτά βασίζονται κατά κύριο λόγο στό ότι η Ομάδα μπορεί να μάς βοηθήσει στην μελέτη της συμμετρίας - και μάλιστα της συμμετρίας της εσωτερικής δομής.
Τέλος μια πολύ "διάσημη" Ομάδα είναι η Ομάδα Lie.


Κυρίως όμως και πάνω από όλα όπως είχε πει ο
G.H. Hardy

"Pure mathematics is on the whole distinctly more useful than applied. For what is useful above all is technique, and mathematical technique is taught mainly through pure mathematics."


*Ως μουσικό χαλί προτείνω το "don't know much about Algebra..", Wonderful World - Sam Cooke:)


9 comments:

guitarlikas said...

Citronella, respect! Σ'ευχαριστώ πάρα πολύ! Οι τελευταίες 2-3 παράγραφοι ήταν αυτές που κάλυψαν απόλυτα την ερώτηση μου, αν και ακόμα δε μπορώ να φανταστώ πχ πώς βρίσκει εφαρμογή η θεωρία ομάδων στη συνδυαστική, ή στην ταξινόμηση κρυσταλλικών δομών στη Χημεία, αλλά φαντάζομαι δε θα είναι τόσο απλό το πράγμα όσο φαίνεται. Την απορία για τις αλγεβρικές δομές την είχα γιατί έτσι όπως τη διδαχθήκαμε στο uni είναι νομίζω ότι πιο θεωρητικό έχω συναντήσει. Οπότε αν και δε συμφωνώ τελείως(μιας και "εφαρμοσμένος"(lol)) με τον Hardy, καταλαβαίνω απόλυτα αυτό που λέει μιας και ο αλγεβρικός τρόπος σκέψης είναι απλά μοναδικός!
Και πάλι thanks :)

Citronella said...

Εγώ ευχαριστώ, που μού έδωσες αφορμή - μπορείς να δηλώσεις επιλογή αλγεβρική θεωρία αριθμών και να συνεχίσουμε την κουβέντα:ΡΡΡΡ

Ναι, απλό ίσως είναι, εγώ γενικώς δεν μπορώ να περιγράφω τα Μαθηματικά σε μια πρόταση, όπως είναι φανερό:))))
Πάντως η αλήθεια είναι πως όσο εμβαθύνεις τόσο λιγότερο αφηρημένο και θεωρητικό φαίνεται το ζήτημα.

Χαίρομαι που το βρήκες ενδιαφέρον το ποστ:)

guitarlikas said...

Τώρα λίγο αργά για το επιλογής, αλλά την κουβέντα μπορούμε φυσικά να τη συνεχίσουμε και για τις ανάγκες της θα ανατρέχω σε πηγές -->oTheos (αλγεβρίστας και ας μην το παραδέχεται)..χαχα..Νομίζω πρέπει να κάνεις και ένα μπλογκ καθαρά "μαθηματικό" :)

Citronella said...

Lol!!Σωστά, άλλωστε όποιος αγαπάει τόσο τα Μαθηματικά σίγουρα κατά βάθος είναι Αλγεβρίστας και ας μην το ξέρει!

Χμ..μάλλον θα σηκώσω περισσότερα ποστς εδώ, να γίνει subring:)

oTheos said...

Pragmati i algevra genikos einai ena mathima afairetiko pou afairei apo ta antikeimena ta epousiodi (epousiodi apo tin pleura tis algevras) kai krataei tin ousia pou einai i meleti tis domis enos sinolou me prakseis meso ton isomorfismon ( diladi apoikoniseon pou diatiroun tin algevriki domi).
Omos to idio kanei kai i Topologia, afairei ta epousiodi kai krataei tin ousia (kata tin idia panta) pou einai i meleti tis domis pou apokta ena sinolo me mia topologia (klasi anoikton sinolon) meso ton omoiomorfismon (diladi apoikoniseon pou diatiroun tin topologiki domi).
Etsi einai i anthropini skepsi, diladi afairei kathe fora ta epousiodi kai sigkentronetai sta ousiodi. Etsi einai kai o kathreftis autis ta mathimatika.
Paraegrapsa polla...
Ftou...
Citronella keep on the good work kai guitarlika sinexise to diavasma kai se vlepo sintoma oxi mono algevrista alla kai analista alla kai oti allo theliseis!! :-)

Citronella said...

otheos: ευχαρίστως να διαβάσουμε και άλλα!!
btw με την άδειά σου θα ήθελα να σε περάσω στα λινκς, χτες διάβασα και ένα πολύ ωραίο ποστ που είχες γράψει παλιότερα για τα Μαθηματικά.

Η αλήθεια είναι πως ακόμα και με Στατιστική αν ασχοληθώ, μού αρέσει την ώρα που ασχολούμαι (ε,ως έναν βαθμό..:)
Αλλά η Άλγεβρα, όσο και αν φαίνεται αυστηρή και αγέλαστη, για μένα είναι ακριβώς ο δρόμος που οδηγεί στην ουσία.
Είναι αυτό που λένε πως αν το αποτέλεσμα είναι αληθινό θα είναι σίγουρα όμορφο!

guitarlikas said...

Citronella γιατί τι έχει η στατιστική? Δεν πιστεύω να τη θεωρείς βαρετή..χαχα..Το μπλογκ αρχίζει να γίνεται επικίνδυνα "καθαρό" και πρέπει να κρατάω τις ισορροπίες :D

oTheos said...

Citronella profanos mporeis na me valeis gia link!
An kai na se proidopoihso oti grafo sxetika spania!!
G-Likas emena opos ksereis tin teleutaia periodo me endiaferoun kai oi efarmoges, vlepe master...
I na to theso kalitera me endiaferei na do ean mou aresoun oi efarmoges! :-)

Citronella said...

Ωχ, guitarlika εδώ τώρα ταιριάζει το να γίνω ευγενικός ή ειλικρινής??Lol!
Όχι οκ, δεν έχουμε τα εφαρμοσμένα υπό διωγμόν, εννοείται, πάντως σίγουρα οι αδυναμίες είναι φανερές:))

ΟTheos το σπάνια δεν μάς πειράζει και τόσο, μην κοιτάς εδώ που έχω ..καταιγισμό ποστ!!

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.