Thursday, June 14, 2007

Back to basics - The Naturals


Αν μπορώ να έχω μια μικρή προτίμηση, θα έλεγα ότι οι αγαπημένοι μου αριθμοί είναι οι Μιγαδικοί.
Καθόλου περίεργο, και νομίζω όλοι ζήσαμε μια μικρή αποκάλυψη όταν πρωτογνωρίσαμε τον γοητευτικό αριθμό i, έτοιμο για μια ξεχωριστή θέση σε ένα Σύμπαν όπου κυριαρχούσε ο Ιούλιος Βερν και οι εξερευνήσεις στο "στοιχειωμένο σπίτι" της γειτονιάς.

Όμως η ώρα της Έκθεσης πέρασε, έχουμε Μαθηματικά:)
Παρά λοιπόν την γοητεία των Μιγαδικών, δικαίως οι Φυσικοί πάντα έχουν μια ιδιαίτερη αίγλη, και δικαίως ο Gauss είχε ονομάσει την Θεωρία Αριθμών "Βασίλισσα των Μαθηματικών".


Ας θυμηθούμε τις βασικές ιδιότητες των Φυσικών.


Και πρώτα από όλα ποιοι είναι οι Φυσικοί.
Ένα ερώτημα που μοιάζει απλό, αν όμως το θέσουμε σε διαφορετικά άτομα ή ανατρέξουμε στην βιβλιογραφία το αποτέλεσμα θα μάς εκπλήξει.
Κι αυτό γιατί δεν υπάρχει μία και καθορισμένη απάντηση, σε κάτι φαινομενικά στοιχειώδες:
είναι ή όχι φυσικός το 0?

Άλλοι θα πούν ότι το Ν ειναι οι αριθμοί {0,1,2,3,...} και άλλοι ότι είναι οι αριθμοί {1,2,3,..}
Φυσικά ο καθένας έχει τα επιχειρήματά του, και συνήθως τα θεωρεί και ακλόνητα.
Είναι όμως εκπληκτικό,το ότι κάτι τόσο "απλό" όσο το αν θα συμπεριλάβουμε το 0, δεν έχει μοναδικη απάντηση - και είναι μια από τις καλύτερες ενδείξεις για το πόσο συναρπαστικά είναι τα Μαθηματικά όταν ξεχνάμε τα στερεότυπα και όταν βλέπουμε ότι η Άλγεβρα δεν συνοψίζεται στο 1+1=2.

Στο θέμα μας τώρα, όπως είχε πει ο Ribenboim
"Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that 0 in P."
(μια γνησίως μαθηματική θεώρηση, κατά την γνώμη μου)

Αυτό που γενικά μπορούμε να πούμε ότι παρατηρείται είναι ότι:
αν το δούμε από την άποψη της Θεωρίας Αριθμών, θεωρούμε μόνο τους θετικούς ακεραίους χωρίς δηλαδή το 0, ενώ από την συνολοθεωρητική σκοπιά συμπεριλαμβάνουμε και το 0.
(Χωρίς αυτό να είναι κατά κανέναν τρόπο κάποιος κανόνας, αλλά περισσότερο παρατήρηση με βάση τα εμπειρικά δεδομένα).

Η θεώρηση Ν={1,2,3,..} έχει περισσότερο τις βάσεις της στην ιστορία των Φυσικών, και στην καθημερινή τους χρήση στο να μετράμε αντικείμενα, από χιλιετίες πριν.
Βέβαια και το να πούμε ότι δεν έχουμε κανένα αντικείμενο, δηλαδή έχουμε 0 αντικείμενα έχει εντελώς πρακτικό και καθόλου αφηρημένο νόημα, και ίσως για αυτόν τον λόγο το 0 συναντάται από το 700π.Χ., στους Βαβυλωνίους.
Η μεγάλη ώθηση στην μελέτη των ιδιοτήτων τους και στην θεώρηση τους ως κάτι το αφηρημένο πλέον, όπως ξέρουμε οφείλεται στους Πυθαγόρειους αλλά και (όπως ίσως δεν είναι τόσο γνωστό) στους Ινδούς και τους Κινέζους, σε μεγάλο βαθμό.

Η πρώτη σοβαρή προσπάθεια για έναν αυστηρό ορισμό δόθηκε με τα αξιώματα του Peano, τα οποία δημοσιεύτηκαν απο τον Giuseppe Peano το 1889.


Με x' ορίζουμε τον επόμενο του φυσικού x (ουσιαστικά δηλδή το x+1, κάτι που ωστόσο αποφεύγεται γιατί δεν έχει ακόμα εισαχθεί η πρόσθεση).
Ισοδύναμος συμβολισμός είναι ο S(x), ως επόμενος (successor).
(για το ανήκει προτίμησα το "ε")

Με αυτούς τους συμβολισμούς, μια μορφή των αξιωμάτων Peano είναι η εξής:


P1. το 0 ανήκει στο Ν
P2. Αν xεΝ τότε και x'εΝ
P3. Δεν υπάρχει xεΝ έτσι ώστε x'=0
P4. Αν x,yεΝ και x'=y' , τότε x=y
P5. Aξίωμα της Μαθηματικής Επαγωγής
Αν Μ ένα υποσύνολο του Ν έτσι ώστε:
ι) 0εΜ
ιι) xεΜ=>x'εΜ
τότε Μ=Ν


Κάποιες παρατηρήσεις:

Αυτή είναι μια αρκετά απλουστευμένη και πιο κατανοητή μορφή των αξιωμάτων Peano.
Στο Ρ1 όταν λέμε 0, είναι κυρίως θέμα σύμβασης που εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το αν θεωρούμε το 0 φυσικό. Σε πολλές άλλες μορφές βλέπουμε το 1 στην θέση του 0.
(Άλλωστε γενικώς το 0 πολλές φορές δεν συμβολίζει αναγκαστικά τον αριθμό 0 αλλά πχ σε αλγεβρικές δομές το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης).

Το Ρ2 εγγυάται ότι ο επόμενος κάθε φυσικού είναι επίσης φυσικός, ενώ το Ρ3 ότι το 0 δεν είναι επόμενος κανενός φυσικού.

Το Ρ5 βέβαια είναι από τα πιο σημαντικά εργαλεία στην Θεωρία Αριθμών (και όχι μόνο, αλλά εκεί σίγουρα θυμόμαστε όλοι αρκετές αποδείξεις που το χρησιμοποιούμε).
Υπάρχουν ισοδύναμες διατυπώσεις, με πιο διαδεδομένη ίσως την διατύπωση στα πλαίσια του προτασιακού λογισμού :


Έστω μια πρόταση P(n) ορισμένη για κάθε n του Ν.
Αν επιπλέον ισχύουν οι εξής συνθήκες:
- η Ρ(0) αληθής
- αν η P(k) αληθής τότε και η P(k+1) αληθής

τότε η P(n) είναι αληθής για κάθε n στο Ν.



Έτσι λοιπόν, είδαμε μια πρώτη άποψη για το Ν. Στην συνέχεια (που ελπίζω να μην είναι τέτοιο κατεβατό) είναι η σειρά της Θεωρίας Συνόλων.

(saved by the bell!)




4 comments:

Jef Costello said...

Τι ωραία που είναι η θεωρία αριθμών!
Πάντα ήταν η πρώτη μου προτίμηση.
Καθόμουνα και έλυνα ότι κουφή άσκηση έβρισκα, από hoby. Τα προβλήματα που αφορούν τη θεωρία αριθμών έχουν την μαγεία ότι, πολύ συχνά, δεν υπάρχει συγκεκριμένο pattern που πρέπει να ακολουθήσεις, για να τα λύσεις. Εχει μεγάλη σημασία από "που θα το πιάσεις" το πρόβλημα για να βρείς τη λύση του.

Citronella said...

:))Ακριβώς! Εκεί είναι που φαίνεται όλη η μαγεία της περιπέτειας των Μαθηματικών, μακρυά από έτοιμες λύσεις.
Είναι φοβερό το πόση "φαντασία" σε συνδυασμό βέβαια με μαθηματική σκέψη και γνώσεις χρειάζεται!

guitarlikas said...

Τι ωραίο θέμα άνοιξες πάλι! Εγώ αυτό που κρατάω σχετικά με την ένταξη ή μη του 0 στο σύνολο Ν είναι αυτό που είπε πριν 1 μήνα ο ένας και μοναδικός Ψωμόπουλος στο μάθημα των Αλγεβρικών Δομών! "Ποσώς μας νοιάζει αν το μηδέν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς ή όχι" ..χεχε..Μετά φυσικά είπε και άλλο ένα κάρο πράγματα για να στηρίξει αυτό που είπε, αλλά εγώ ως επιλεκτικός άνθρωπος και γνωστός συμφεροντολόγος κράτησα μόνο αυτό :)

Citronella said...

Χαχα, σταθερές αξίες, Ψωμόπουλος;)
Είπαμε, η πιο μαθηματική άποψη!
Πάντως είναι από τα θέματα που δίνουν πολλές ευκαιρίες για παρόμοιους (ενδιαφέροντες) προβληματισμούς!

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.