Sunday, June 24, 2007

The Naturals - constructing

Είδαμε το πώς έγινε μια πρώτη προσπάθεια για μια πιο συστηματική μελέτη των φυσικών, με τα αξιώματα Peano.

Πολύ πολύ αργότερα, στα 1960 είχαμε την άνθηση της Θεωρίας Συνόλων, όταν η συγκεκριμένη Θεωρία αντιμετωπίστηκε ως ένα είδος πανάκειας, κάτι αντίστοιχο της Θεωρίας των Πάντων για τα Μαθηματικά.
Σύντομα μια τέτοια φιλοδοξία αναγκάστηκε να μετριαστεί, ωστόσο τέθηκαν οι βάσεις για την αυστηρή τεκμηρίωση της Θεωρίας Συνόλων.


Χάρη στο παράδοξο του Russell, θεμελιώθηκε η Aξιωματική Θεωρία Συνόλων, με βάση τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel και όπου πρωταρχικές έννοιες είναι η έννοια του συνόλου και του ανήκει.
(*πρωταρχικές έννοιες σημαίνει δεν ορίζονται, τουλάχιστον δεν ορίζονται μαθηματικά με βάση πιο απλές έννοιες, αλλά τις καταλαβαίνουμε διαισθητικά όπως πχ η έννοια του σημείου στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.)

Τα αξιώματα αυτά συμβολίζουμε ZFC, όταν θέλουμε να δηλώσουμε ότι συμπεριλαμβάνουμε και το αξίωμα της επιλογής.
Επειδή και μια απλή αναφορά τους απαιτεί πολλά ποστς (ως προς τον σχολιασμό εννοείται, αλλιώς είναι δέκα γραμμές) απλά αναφέρω ότι το αξίωμα της επιλογής είχε προκαλέσει αρκετή συζήτηση τότε και εξακολουθεί το ίδιο μέχρι και σήμερα.


*Για να είμαι ακριβής, μετά από παρέμβαση αναγνώστη (βλ. σχόλια) να διευκρινήσω/ συμπληρώσω ότι τα αξιώματα ZF διατυπώθηκαν (εν μερει από τον Zermelo αρχικά) από τα 1900.
Περισσότερα στα σχόλια.


Για το σύνολο των φυσικών πάντως μάς ενδιαφέρει το αξίωμα του απείρου:


Υπάρχει άπειρο σύνολο Χ, δηλαδή σύνολο Χ έτσι ώστε το κενό σύνολο είναι μέλος του Χ και για κάθε x του Χ, το S(x)=xU{x} ανήκει επίσης στο Χ.

Όταν για κάθε x στο Χ, ο επόμενός του x' (ή S(x)) ανήκει επίσης στο Χ, τότε το Χ ονομάζεται επαγωγικό σύνολο.
Αν λοιπόν ισχύουν τα αξιώματα Zermelo-Fraenkel, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα επαγωγικό σύνολο Χ το οποίο περιέχει το κενό.
Τότε οι φυσικοί ορίζονται ως η τομή όλων των υποσυνόλων του Χ ,τα οποία είναι επαγωγικά σύνολα και περιέχουν το κενό σύνολο.
Επιπλέον, το σύνολο των φυσικών ικανοποιεί τα αξιώματα Peano.


Έτσι, με βάση τα προηγούμενα, κατασκευαστικά μπορούμε να ορίσουμε τους φυσικούς ως εξής:



0 = { }
1 = 0' = 0U{0} = {0} = {{ }}
2 = 1' = 1U{1} = {0}U{1} = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
3 = 2' = 2U{2} = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}




Δηλαδή κάθε φυσικός είναι ίσος με το σύνολο των φυσικών που είναι μικρότεροι από αυτόν.
Μπορούμε λοιπόν να πούμε ανεπίσημα πως το σύνολο (δηλαδή ο φυσικός) n ορίζεται ως το σύνολο με n στοιχεία
0,1,2,..,n-1.
Επομένως, ο φυσικός n είναι ένα σύνολο, του οποίου το πλήθος των στοιχείων ή αλλιώς ο πληθάριθμος είναι ίσος με n.

(συνεχίζεται)


3 comments:

Anonymous said...

Νομιζω εχεις καποιες ανακριβειες στις χρονολογιες, μιας & η δουλεια τοσο του Zermelo οσο & του Fraenkel ειναι των αρχων του αιωνα. (Αλλωστε το '60 ειχε ηδη τελειωσει η (point-set) τοπολογια, ποσο μαλλον η θεωρια συνολων.)

Κατα τα αλλα, συνεχισε!

Citronella said...

Φυσικά έχεις δίκιο για τα αξιώματα, για την Θεωρία Συνόλων στα 60s έχω άλλη εντύπωση αλλά δεν επιμένω - πάντως θα το ξανακοιτάξω.

Ευχαριστώ για το σχόλιο.

Anonymous said...

Κανενα προβλημα. Δεν ειμαι συνολοθεωρητικος (ουτε καν θεωρητικος) & δεν ξερω σιγουρα, Εαν μπορεις να αναφερεις την πηγη (reference), θα εκτιμηθει ιδιαιτερα. (Η δικη μου για τις χρονολογιες - περι ZF - ειναι, κλασσικα, το Mac Tutor στο οποιο κανεις linking στο ποστ για τον Pascal.)

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.