Sunday, July 01, 2007

Count Me In

Οι Φυσικοί αριθμοί λοιπον είναι το σύνολο

Ν={0,1,2,..}

Οι φυσικοί άριθμοι είναι άπειροι, ωστόσο ως γνωστόν άπειροι είναι και οι ακέραιοι αλλά και οι πραγματικοί.
Πώς ξεχωρίζουμε το "πόσοι άπειροι" υπάρχουν σε κάθε σύνολο?
Για παράδειγμα, σε κάθε φυσικό "αντιστοιχούν" δυο ακέραιοι: ένας θετικός και ένας αρνητικός.
Κάτι που ακόμα και μιλώντας για άπειρο, εύκολα μάς οδηγεί σε μια διατύπωση όπως "αν το Ν έχει άπειρους αριθμούς, τότε το Ζ έχει τους διπλάσιους άπειρους".
Ξεκινώντας από τέτοιους συλλογισμούς (και περνώντας βέβαια μέσα από πολύ πιο ουσιαστικές μαθηματικές διαδρομές) ορίστηκαν και οι πληθάριθμοι των απειροσυνόλων.

Την ιδέα των πληθαρίθμων απείρων συνόλων εισήγαγε ο Cantor, και ο οποίος πρώτος διατύπωσε την άποψη ότι διαφορετικά άπειρα σύνολα έχουν διαφορετικούς πληθαρίθμους.
"Every transfinite consistent multiplicity, that is, every transfinite set, must have a definite aleph as its cardinal number."
(Ενώ και οι Frege/Russell έδωσαν έναν αυστηρό ορισμό, ωστόσο δεν ήταν μέσα στα πλαίσια της θεωρίας ZFC.)



Έτσι, ξεκινώντας από τους φυσικούς, ο πληθάριθμος του Ν ορίστηκε ίσος με το άλεφ μηδεν(aleph-null)
και αν ισχύει το αξίωμα της επιλογής είναι ο μικρότερος άπειρος πληθάριθμος.

Σε αντίθεση με το τι είδαμε πριν ότι μπορεί να σκεφτούμε διαισθητικά, και το σύνολο Ζ των ακεραίων έχει τον ίδιο πληθάριθμο με το Ν.

Και αυτό είναι κάτι στο οποίο καταλήγουμε όχι με εικασίες αλλά με την βοήθεια των συναρτήσεων:
Κάθε σύνολο για το οποίο υπάρχει μια 1-1 συνάρτηση με το Ν, είναι ισοδύναμο (ως προς το πλήθος στοιχείων) με το Ν και είναι και αυτό άπειρο αλλά αριθμήσιμο. Επομένως έχει τον ίδιο πληθάριθμο.
Αυτό λοιπόν ισχύει για το Ζ, αλλά και το σύνολο Q των ρητών αριθμών.

Το σύνολο των πραγματικών τώρα, μάς είναι εύκολο να φανταστούμε ότι θα έχει διαφορετικό πληθάριθμο.
Αυτό ισχυρίζεται και η υπόθεση του συνεχούς, που διατύπωσε ο Cantor και σύμφωνα με αυτήν:

δεν υπάρχει σύνολο του οποίου ο πληθάριθμος να βρίσκεται αυστηρά ανάμεσα σε αυτόν των ακεραίων και αυτόν των πραγματικών.

Ή αλλιώς, αν θεωρήσουμε την διάταξη των άλεφ Ν0,Ν1,Ν2 κλπ τότε
aleph nullόπου c ο πληθάριθμος των πραγματικών, δηλαδή c=|R| όπως έχει επικρατήσει πλέον ο συμβολισμός για τους πληθαρίθμους.

Όσο για το ίδιο το σύνολο των πληθαρίθμων, ο Cantor απέδειξε ότι δεν μπορεί να έχει μέγιστο στοιχείο (παράδοξο του Cantor).


Η υπόθεση του συνεχούς απασχόλησε φυσικά για πολύ καιρό τον Μαθηματικό κόσμο, όπως άλλωστε συνηθίζεται με τις υποθέσεις.
Ο Gödel απέδειξε ότι δεν έρχεται σε αντίθεση με την Θεωρία Συνόλων ZF, ωστόσο περίπου 30 χρόνια αργότερα το 1960 ο Paul Cohen απέδειξε ότι δεν θα υπήρχε αντίθεση και με την άρνηση της υπόθεσης του συνεχούς.
Πιο γνωστές στην συνέχεια είναι ίσως οι εργασίες των Conway και Guy και του Woodin.


Αυτά, πολύ περιληπτικά, για το μεγάλο θέμα των πληθαρίθμων και την υπόθεση του συνεχούς η οποία εξακολουθεί και σήμερα να απασχολεί πολλούς Μαθηματικούς, μια που ναι υπάρχουν ακόμα Καθαρά Μαθηματικά.



Για περισσότερα:

*The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis - Kurt Godel

*The Independence of the Continuum Hypothesis - Cohen, Paul J.

*The Continuum Hypothesis, Part I - W. Hugh Woodin (pdf)

*Recent Progress On The Continuum Hypothesis (after Woodin)





In mathematics the art of proposing a question must be held of higher value than solving it.
Georg Cantor


2 comments:

guitarlikas said...

Λοιπόν...για να έρθει το πτυχίο τον Σεπτέμβριο ΠΡΕΠΕΙ να περάσω τοπολογία..οπότε κανόνισε τον Αύγουστο να κάνεις 5 τοπολογικά ποστ τη βδομάδα :D Έτσι δημοκρατικά..χαχα..Από Αύγουστο όμως για να σε ακολουθώ..Ευχαριστώ και καλό μήνα :)

Citronella said...

Αφού μού αφήνεις τα σ-κ ελεύθερα πάλι καλά:Ρ
Καλό μήνα!

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.