Monday, July 16, 2007

FlowSnake (Gosper Island)

Αρκετές είναι βέβαια οι φρακταλοειδείς καμπύλες που έχουν ενδιαφέρον ή απλά είναι εντυπωσιακές, αλλά μια που το email μου είναι snowflake_τόσο είπα να παινέψω το (e-) σπίτι μου.

Flowsnake ή αλλιώς Gosper Island ονομάζεται το παρακάτω σχήμα.



Για την ακρίβεια η καμπύλη Peano - Gosper, είναι μια καμπύλη plane filling curve (κάτι που μπορεί να μεταφραστεί ως γεμίζουσα το επίπεδο καμπύλη ή καμπύλη που γεμίζει το επίπεδο, και για ευνόητους λόγους προτιμώ να το αφήσω χωρίς μετάφραση).


Αρκετές φορές θεωρείται προτιμότερος ο όρος plane filling function (συνάρτηση), για να μην δημιουργείται σύγχυση με την έννοια της καμπύλης ως γραφική παράστασης συνεχούς συνάρτησης γενικώς

Αυτό πάντως που μπορούμε να πούμε χωρίς ιδιαίτερη αυστηροτητα είναι ότι μια τέτοια καμπύλη αντιστοιχεί ένα (μονοδιάστατο) διάστημα σε μια (δισδιάστατη) περιοχή του επιπέδου, έτσι ώστε να διέρχεται από κάθε σημείο της περιοχής αυτής.
Ο πρώτος που απέδειξε ότι κάτι τέτοιο είναι δυνατόν ήταν ο Hilbert, με την καμπύλη Hilbert, βασιζόμενος στην καμπύλη Peano η οποία απεικονίζει το μοναδιαίο διάστημα [0,1] στο μοναδιαίο τετράγωνο [0,1]x[0,1].
(Κάτι ιδιαίτερα ενδιαφέρον είναι ότι αυτές οι καμπύλες δεν έχουν μεν τρύπες, ωστόσο καθώς απεικονίζεται ένα κλειστό διάστημα σε μια κλειστή περιοχή δεν μπορούμε να αποφύγουμε τα διπλά σημεία, δηλαδή δεν είναι 1-1).


Αυτό πάντως το οποίο είναι το θέμα μας είναι η καμπύλη που ορίζει (ως εξωτερικό σύνορο) το τμήμα του επιπέδου που καταλαμβάνει η καμπύλη Gosper.
Γι'αυτό και ο Mandelbrot την ονόμασε Gosper Island, το 1977.
Έχει διάσταση fractal D= ln8/ln7 (δηλαδή, ln3/ln (sqrt7)).

Ενώ η καμπύλη Peano - Gosper, ως επίπεδη καμπύλη έχει διάσταση Hausdorff 2 (φυσικά καθώς δεν είναι φρακταλοειδής, δεν έχει fractal διάσταση).

Θεωρείται παραλλαγή της Snowflake του Koch, εξ ου (αν και όχι μόνο) και ο αναγραμματισμός.


(Snowflake)


Μάλιστα είναι αρκετά δημοφιλής και σε συνθέσεις με προγράμματα για fractal music.


Εδω βλέπουμε και μια άλλη εκδοχή του self-similar, καθώς η καμπύλη Gosper Island μπορεί να διασπαστεί σε 7 μικρότερες εκδοχές του εαυτού της (self).
Γι'αυτό και το 7 στην διάσταση D.




No comments:

 

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 License.